（转发）“小括号的教材比较研究”

  数学课程标准中对“小括号的认识”提出了怎样的具体目标呢？在2011版课标之前，“小括号”的教学，有的教材放在第一学段，有的则放在第二学段。对比实验稿与2011版课标，发现在第一学段（1-3年级）数的运算中，2011版课标新增了“认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步）”。现统一放置在第一学段，与第二学段形成渐进性衔接，这样有利于对整数四则混合运算的把握。由于课标中并没有明确认识小括号的具体内容，也没有提供相关案例，这也给教材的编写与使用创设了更多的空间。

       笔者选取了2011年新课改后的人教版、青岛版、北师大版、苏教版、西南师大版这五套教材，对教材中的“情境与例题”、“作用与由来”进行了比较研究。

     五套教材均创设生活情境，在解决问题的过程中进行数学符号意识的培养。学生可以依托情境，解释每一步运算表达的意义，结合算式意义体会到小括号能改变运算顺序的作用，尝试用符号进行数学表达和数学思考的方法。从表1中可以看到以下不同点。

表1   小括号“情境与例题”的比较

1.内容放置年级跨度变化大

       五套教材中，《小括号的认识》放置年级有所不同，除人教版放置在一年级外，其他四套教材均放在三年级。对比新课改前后的教材，发现人教版、苏教版、西南师大版将本课内容前置，其中人教版跨度最大，从四下提前至一下；青岛版与北师大版从二下后移至三上，北师大版教材《改编说明》中解释：后移的原因主要是考虑学生对于计算学习的年龄特征，有利于克服学生的学习困难，避免难点集中。

2.例题呈现的算式数量不一

       西南师大版仅呈现一个带有小括号的综合算式；人教版和北师大版都呈现了两个综合算式，一个不带小括号，一个带小括号，人教版中的两个都是正确的，而北师大版中的第一个是错误的；苏教版相比北师大版，多了一个分步的算式；青岛版呈现的7个算式最为丰富，不仅有分步算式、错误的综合算式，也呈现了像③和④这样，用横线、圆圈来表示先算部分。

3.前后关联知识与目标有差异

       人教版最为特殊，因涉及年级是一下，把《小括号的认识》安排在加减同级混合运算之后，能正确计算含有小括号的两步加、减混合运算，但不要求脱式计算；其余四个版本均安排在三年级乘加、乘减、除加、除减二级混合运算之后，打破了“先算乘除后算加减”的原有认知，凸显“小括号可以改变运算顺序”的作用，能正确计算带有小括号的算式，会脱式计算。

       以上是关于小括号“情境与例题”的对比分析，那么，关于小括号的“作用与由来”，五套教材又分别做了怎样的处理？

     小括号的“作用与由来”比较

       五套教材主要采用直接告知的方式，使学生理解小括号可以改变运算顺序的作用,明确一个算式里有括号，要先算括号里面的，然而关于小括号的由来则很不一致。(见表2和图1-图5)

 表2   小括号“作用与由来”的比较

       通过五套教材中“情境与例题”、“作用与由来”的比较分析，笔者产生了三个疑问。

      问题1:小括号的作用只能直接告知吗？

       问题2:在学习小括号的同时，其由来有必要介绍吗？

      问题3:学生会出现错误的综合算式吗？

调查思考

       为了了解与上述问题相关的学情，笔者对义乌市城区2所、乡镇1所小学二年级共394名学生做了一个小调查。(因调查时间为2018年6月,使用人教版教材的学生已学完一下《小括号的认识》一课，故选择使用北师大版教材的二年级学生，还未学习本课内容，且具备相应的知识基础。)

       第一个目标，调查学生两步计算的运算顺序（无括号）以及正确率。安排了四道题，后三题比较类似，这是之前学习的内容，主要看学生掌握的程度。

       第二个目标，调查学生会有几种不同的算式，了解学生认知起点。题目是人教版一下第74页书中的例题，主要是看看学生会列怎样的综合算式，是否会有使用小括号的情况。

     第三个目标，调查学生关于综合算式“10-2+3”中要先算”2+3”会有哪些想法，了解学生是否具有潜藏的符号意识，是根据上题中的情境展开进一步思考。

       下面是具体的调查情况分析。

       第一大题四道计算，第①②④题正确率超过90%，只有第③题的正确率低于90%。

        具体错误情况有以下三类：

      出现第一类错误是最多的，先加后减，在计算第二步减法时，仍然当作加法进行计算；第二类错误是只计算了第一步；第三类错误是受了数据的干扰，忽略了运算符号。观察上表，发现学生对于两步计算的运算顺序（无括号）掌握熟练，正确率较高。 

       第二大题学生主要有七类不同情况，其中运用“10-2-3”来解决问题的占比最高，城区61.54%，乡镇72.04%，算式与情境中每一步相对应，先剪掉2个，再剪掉3个；选择将两次剪掉的个数先合起来，再求剩下的个数，城区29.81%,乡镇22.58%，虽然想法相同,但表达方式有差异，具体见④⑤⑥⑦。

       错误情况有三类，城区2.40%，乡镇4.30%，学生列出“10-2+3”的情况很少，其中城区2人，乡镇3人。

       第三大题,城区23.56%,乡镇27.96%的学生无法正确解答，虽然均有超过50%的学生认为写成”10-2+3”是不对的，但不知道该如何正确改写，城区仅2.88%，乡镇5.91%的学生能使用小括号来帮忙,没有出现用圆圈，横线等方式来表示先算部分“2+3”。

研究启示

       经过上述的教材比较分析，学情调查思考，不难发现，很多学生的生活经验中潜藏着“符号经验”，然而如何表达却存在很大的困难，那么对我们的教学又有什么启示呢？

1.挖一挖，唤醒潜藏的“符号经验”

       在小括号出现之前，人教版一上第52页有呈现“圈出能组成8的两个数”；第67页引出加减混合运算“4-2+3=□”时，在先算部分“4-2”的下方划一条横线等，这些可以成为学生学习小括号的经验，将符号语言与生活经验相联系，并鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系。通过非常贴近生活实际的情境，感受到因为要进行优先计算需要一个符号来进行说明，小括号这个符号的使用方法就是这样产生的。 

       学生生活在一个符号化的世界里，唤醒学生潜藏着的符号经验，这也是发展符号感的重要基础。

2.停一停，放慢符号抽象的过程

       在小括号出现，用这个符号进行运算的教学过程中，可以不急着告诉学生运算顺序。教师要做的是选取适合交流的作品，比较不同的算式，依托情境，让学生说一说，辩一辩，解释每一步运算表达的意义。比如10-2+3与10-(2+3)都是同样的3个数，它们的运算过程一样吗？2+3=5,10-5=5，又分别代表什么意思？10-2-3与10-（2+3）运算符号不同，为什么结果却相同？

       停下脚步，放慢符号抽象的过程，一定要让学生结合具体的问题情境理解每一个运算符号的含义，比较辨析，经历从“创造”符号到“用”符号再到“懂”符号的体验过程,从而帮助学生在具体的解决问题的情境中埋下符号意识的种子。

3.讲一讲，了解小括号的历史

数学符号意识不仅应该经历利用数学符号进行运算和推理的过程，还应该明白在运算与推理背后所蕴含的道理。建议教材插入小括号的由来，从时间的视角去看数学符号的演变和数学发展的历史，这不仅仅是情感培养，对加深理解与感悟也有一定的促进作用。